Kuinka laskea prisman, eli särmiön pinta-ala?

Nyt emme laske sen prisman pinta-alaa, josta voit ostaa tykötarpeita aina sukkahousuista makkaraan. Vaikka olisihan se mielenkiintoista tietää kaikkien Suomessa olevien Prismojen yhteinen pinta-ala. Emme myöskään laske suositun Ylen dokumenttiohjelma Prisman pinta-alaa.

Viimeistään tässä vaiheessa mieleesi on juolahtanut jostain peruskoulun syövereistä kuva valoa taittavasta kolmioprismasta. Nyt olet jo lähellä, sillä tässä artikkelissa pureudumme avaruusgeometrisen prisma kappaleen pinta-alan laskemiseen. Prismasta puhutaan suomenkielessä usein särmiönä.

Prisman tai särmiön pinta-alan laskeminen ei ole mikään uusi ja ihmeellinen asia. Jo antiikin Kreikassa Pythagoras opetti tätä koulussaan. Pythagoras oli häveellinen mies ja kunnioitti omaa itsenäisyyttään, tämän vuoksi hän opetti koulussaan vain öisin. Tällöin mahdollisimman harva näki hänet ja tunnisti hänet kadulla. Hän oli myös hyvin edistyksellinen mies, varsinkin kun ottaa huomioon, että hänen kouluunsa olivat tervetulleet sekä naiset, että miehet.

Mikä ihme on avaruusgeometrinen prisma, eli särmiö?

Prisma on kiinteä kappale, jonka kaksi päätyä ovat täysin saman muotoiset. Massa näiden päätyjen välissä on myös saman muotoinen, mutta pituus voi olla mitä tahansa. Päätykappaleen muoto antaa prismalle sen nimen, kuten esimerkiksi edellä mainittu kolmioprisma. Lisäksi prisma voi olla esimerkiksi lieriöprisma, tai suorakulmainen prisma.

Lieriön mallisen prisman pinta-alan laskeminen

Yksinkertainen selitys lieriöstä on wc-paperirulla, tai pikemminkin tyhjä wc-paperirulla. Jos kuvittelet sen olevan kiinteä, se on täydellinen esimerkki lieriön mallisesta prismasta. Nyt jos leikkaat wc-paperirullan halki ja avaat sen. Huomaat, että edessäsi onkin suorakulma. Eli saadaksemme lieriön mallisen prisman pinta-alan selville, meidän täytyy laskea pääty-ympyröiden pinta-alat ja ynnätä ne tämän suorakulman pinta-alaan.

Minun kylpyhuoneessa olevan wc-rullan halkaisija on 3 cm ja pituus 10 cm. Sinulla saattaa olla eri valmistajan rulla, joten koko saattaa vähän vaihdella. Käytetään kuitenkin näitä mittoja tässä esimerkissä.

Eli kuten Pythagoraalta opimme, että ympyrän pinta-alan laskemiseen tarvitsemme säteen, joka on puolet halkaisijasta, eli tässä tapauksessa 1,5 cm. Eli pii kertaa 1,5cm potenssiin 2. Tulokseksi tulee 7 cm². Tämä täytyy kertoa kahdella, koska prismassamme on kaksi päätyä, eli 14cm².

Käytämme jälleen Pythagoraan oppeja ja laskemme wc-paperirullan ympyrän kehän pituuden. Eli pii kertaa halkaisija, ja vastaukseksi saamme 9,42 cm. Tämä on suorakulmamme toisen kulman pituus, toisen jo tiesimmekin olevan 10 cm. Joten 9,42 cm x 10 = 94,2 cm².

Nyt laskemme prismamme päädyt 14cm2 ja päätyjen välin 94,2cm² yhteen, jolloin saamme vastaukseksi 108,2 cm

Lieriön mallisen prisman pinta-alan laskemisen kaava on 2πrh + 2πr² =2πr(h + r), kun r on ympyrän säde ja h on korkeus.

Suorakulmaisen prisman pinta-alan laskeminen

Käytännössähän tilanne on nyt lähes sama, kun kuution pinta-alan laskeminen. Leikitäänpä, että wc-paperirullamme on yön pimeinä tunteina muuttunut, jostain kummasta syystä kulmikkaaksi suorakulmaksi. Sen molemmat päädyt ovat neliöitä, jonka kulma on 3 cm pitkä. Päätyjen väli on pysynyt saman pituisena.

Laskemme ensin päätyjen pinta-alan, eli 3cm x 3cm = 9 cm² ja tämähän pitää taas kertoa kahdella, eli 18cm². Nyt tiedämme, että päätyjen väli koostuu neljästä 3cm x 10cm olevasta osasta. Eli 3cm x 10 cm = 30cm². 30cm2*4=120cm²

Laskemme taas päädyt ja välin yhteen, eli 120cm² + 18 ja saamme vastaukseksi 138cm2.

Kaava suorakulmaisen särmiön laskemiseen on siis A=2(ab+bc+ac), kun särmien pituudet ovat a, b ja c.

Yhteenveto prismasta, eli särmiöstä

Prisma eli särmiö on siis kiinteä kappale, jonka kaksi päätyä ovat täysin saman muotoiset. Massa näiden päätyjen välissä on myös saman muotoinen, mutta pituus voi olla mitä tahansa.

Prismoja on monen muunkin mallisia, kuten esimerkiksi monikulmainen särmiö, eli polygoni prisma. Kaikkien eri muotoisten prismojen pinta-alojen laskeminen seuraa kuitenkin edellä annettuja esimerkkejä.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *