Category: Matematiikka

Prosenttilaskut ja korkolasku

Prosenttilaskut ja korkolaskut ovat erittäin tärkeitä jokapäiväisessä elämässä. Ne kannattaa ehdottomasti ymmärtää ja opetella laskemaan päässä.

Prosenttilaskut

Yksinkertaisesti voit ajatella prosentteja vaikka piirakkana. Kokonainen piirakka on 100%. Jos syöt piirakasta puolet, eli 50% jää sinulle vielä toinen puolikas. Yhdessä nämä kaksi puoliskoa tekevät kokonaisen. Saman voi ilmaista murtolukuina. Syöt piirakasta ½ osaa, jolloin sinulle jää jäljelle ½ osaa. Yhteensä nämä ovat 1/1 osaa. Tai voimme käyttää desimaalilukuja. Kokonainen piirakka on 1. Puolikas on 0,5. 0,5+0,5=1.

Esimerkki prosenttien vähentämisestä.

120 euron takki on 15% alennuksessa. Mitä takki maksaa alennuksen jälkeen?

15% = 0,15

1-0,15 = 0,85

120€ x 0,85 = 102€

Takki siis maksaa alennuksen jälkeen 102 euroa.

Esimerkki prosenttien lisäämisestä.

Kauppias korottaa 50 euroa maksavien kenkäparien hintaa 20%. Kuinka paljon kenkäparin hinta on korotuksen jälkeen?

20% = 0,20

1 + 0,20 = 1,20

50€ x 1,20 = 60€

Kenkäparit maksavat korotuksen jälkeen 60 euroa.

Korkolasku

Korko ilmoitetaan käytännössä aina prosenttina. Prosentti on sadasosa, eli murtolukuna 1/1000 ja desimaalina 0,01. Tästä voidaan päätellä, että 5% onkin siis 0,05 desimaalina.

Esimerkki.

Opiskelija on nostanut 10000 euroa opintolainaa, jonka vuotuinen korko on 1%. Opiskelijan lainan takaisinmaksuaika on 15 vuotta. Kuinka paljon opiskelija maksaa korkoa tänä aikana? Opiskelija on ollut kauppatieteiden opiskelija ja ymmärtänyt, ettei kannata maksaa korkoa korolle lainastaan. Eli hän maksaa joka vuosi kiertyneet korot pois, jopa opintojen aikana, eikä kerrytä niitä pääomaan.

1%= 0,01

10000€ x 0,01= 100€

100€*15 = 1500€

Opiskelija maksaa lainastaan joka vuosi 100 euroa korkoa, eli yhteensä 1500 euroa lainan takaisinmaksun aikana. Todellisuudessa laina pienenee joka vuosi lyhennysten mukaan, jolloin korkosummakin pienenee joka vuosi.

Koron korko

Koron korko on maailma ainoa ilmainen lounas. Onkin käsittämätöntä, ettei näinkin perustavanlaatuista tietoa taota koulussa jokaisen lapsen päähän.

Koronkorko lasketaan kaavalla KP = Kq potenssiin n.

KP = kasvanut pääoma

K = pääoma

q = korkotekijä = 1+p/100

n = korkokausien lukumäärä

Esim.

Opiskelija nostaa 10000€ opintolainaa ja sijoittaa ne rahastoon, jonka vuotuinen tuotto on 5%. Opiskelija nostaa rahat 15 vuoden kuluttua.

K = 10000€

q = 1+ (5% / 100)= 1,05

n= 15

10000€ x 1,05 potenssiin 15 = 20789€

Ymmärsitkö nyt mitä tarkoitin ilmaisella lounaalla? Viidessätoista vuodessa tekemättä mitään tuplasimme 10000 euron alkusijoituksen. Tuottoprosenttina käytimme vain hyvin maltillista viittä prosenttia. Osakemarkkinoilla on mahdollista saada paljon korkeampiakin tuottoja, mutta ne sisätavat huomattavia riskejä. Rahastoihin sijoittaessa riskit ovat lähes olemattomat.

Leikitäänpä ajatuksella vähän lisää.

Opiskelija on ottanut opintolainaa 10000 euroa ja sijoittanut sen 5% tuotolla rahastoon. Maksuaikaa opintolainalle on 15 vuotta ja vuotuinen korko 1%. Vuotuinen inflaatio on 2%, eli tuottoprosentiksi jää inflaatio ja lainan korko huomioiden 3%.

10000€ x 1,03 potenssiin 15 = 15580€

Tiedämme jo aikaisemmasta laskusta, että korkoa opiskelija maksaa n. 1500€.

Eli 10000€ + 1500€ = 11500

Tuottoa siis tuli 15580-11500=4080€

Siinä siis 4000 euron ilmainen lounas tekemättä yhtään mitään. Tietenkin korkoa maksat joka vuosi vähän vähemmän koska pääoma pienenee, joten lopullinen summa on enemmän. Toisaalta taas osakemarkkinat heiluvat jatkuvasti, joten tämä lasku ei ole aivan tarkka.

Ellet vielä usko korkoa korolle ilmiöön, lue aiheesta lisää täältä.

Miten mitata sydämen leposyke ja laskea maksimisyke?

Sydämen sykettä mitataan yleensä joko terveydellisistä syistä tai kuntoiluun liittyvistä syistä. Sykkeen mittaamiseen on nykyään olemassa edullisia muutaman kympin rannekellomalleja, mutta sykkeen voi mitata myös ilman mitään lisälaitteita. Sydän pumppaa verta ympäri kehoa ja siinä samalla verisuonet laajentuvat ja supistuvat. Pystymme tuntemaan tämän verisuonien sykkimisen esimerkiksi ranteesta.

Sydämen sykkeen mittaaminen

Sykkeen mittaaminen ilman apuvälineitä urheilusuorituksen aikana on vaikeaa, ellei jopa mahdotonta. Siksi suosittelen sykemittarin hankintaa, jos tarkoitus on tehostaa vaikka juoksutreeniä. Leposykkeen mittaaminen taas onnistuu helposti.

  • Asetu makuu asentoon.
  • Hengitä rauhallisesti ja makaa paikallasi n. 10-15 minuuttia.
  • Aseta toisen kätesi etu- ja keskisormi toisen kätesi ranteen sisäpuolelle peukalon alapuolelle.
  • Etsi hyvä kohta, jossa tunnet sykkeesi.
  • Laske syke 15 sekunnin ajalta.
  • Kerro tämä neljällä, jolloin saat sykkeesi.

Leposyke vaihtelee välillä 45-80. Siihen vaikuttavat sairaudet, perintötekijät ja yleiskunto. Jos leposykkeesi on yli 80, on syytä hakeutua lääkäriin. Yli sadan oleva leposyke on jo merkki rytmihäiriöstä ja tällöin on syytä jo huolestua.

Maksimisykkeen laskeminen

Kuten leposyke, myös maksimisyke vaihtelee yksilöllisesti. Maksimisykettä käytetään apuna urheilussa ja tällöin riittää summittainen tieto. Maksimi syke voidaan laskea seuraavalla nyrkkisäännöllä:

Maksimisyke = 205 – ½ ikä

Esimerkiksi 34 vuotiaan maksimisyke lasketaan seuraavanlaisesti

34/2=17

205-17=188

Eli 34 vuotiaan maksimisyke on 188.

Oikea sykealue liikuntaan

Sykealueella tarkoitetaan tasoa, jolla sykkeesi tulisi harjoittelun aikan olla. Kestävyysurheilu parantaa sydänlihaksen toimintaa, mikä taas johtaa leposykkeen laskuun.

Kevyt liikunta 50-60% maksimisykkeestä. Tarkoitettu aloittelevalle liikkujalle.

Kohtuu kuormitteinen liikunta 60-70% maksimisykkeestä. Tarkoitettu laihduttajalle

Aerobinen harjoittelu 70-80% maksimisykkeestä. Tarkoitettu esimerkiksi juoksuun ja uimiseen.

Anaerobinen harjoittelu 80-90% maksimisykkeestä. Tarkoitettu esimerkiksi kuntosaliharjoitteluun.

Lisätietoa sydämen sykkeestä löydät täältä.

Kuinka lasketaan matka, aika ja nopeus?

Matkan, ajan ja nopeuden laskeminen ei itse asiassa ole lainkaan vaikeaa. Näiden tietojen laskeminen on vieläkin tärkeä taito muun muassa merenkulun parissa työskenteleville. Näillä laskuilla voidaan laskea laivan tai veneen sijainti. Nykyään on tietenkin käytössä satelliittipaikannusjärjestelmä, mutta ongelma tilanteessa nämäkin taidot on hyvä osata.

Lähes kaikilla kauppalaivoilla on käytössä sähköinen kartta- ja navigointijärjestelmä. Hienoimmissa laitteissa on vielä kaksi päällekkäistä järjestelmää. Eli toisen rikkoontuessa toinen jatkaa toimintaansa. Lisäksi laitteet ovat varmistettuja akuilla. Jos jostain syystä satelliittisignaali häviää tai antenni vaurioituu, järjestelmä osaa määrittää sijainnin laskemalla sen matkasta, ajasta, nopeudesta ja aluksen kompassisuunnasta. Tätä kutsutaan DR ( Dead Reckoning) laskuksi.

DR- sijainninmääritystä voi tietenkin harrastaa aivan tavallisella paperikartalla ja kynällä. Siksi nämä laskut ovat jokaisen veneilijän perustietoa. Tietenkin laskut voidaan laskea millä tahansa yksiköillä. Merenkulku on hyvä esimerkki, koska siellä näitä laskuja käytetään ihan oikeasti vielä tänäkin päivänä.

Lisätietoja merenkulun navigoinnista löydät täältä.

Laskukolmio

Helpoin tapa laskea matkaa, nopeutta tai aikaa on käyttää laskukolmiota. Sen voi opetella ulkoa ja tarvittaessa kirjoittaa paperin nurkkaan helpottamaan laskuja. Kolmiota käytettäessä yksiköiden pitää olla oikeat

Laskettaessa merenkulkulaskuja:

  • Matka on merimaili (mpk)
  • Aika on tunti (h)
  • Nopeus on solmu (kn)

Laskettaessa esimerkiksi autoilun laskuja:

  • Matka on kilometri (km)
  • Aika on tunti (h)
  • Nopeus on kilometriä tunnissa (km/h)

Matka,aika,nopeus

Laskukolmiosta valitaan laskettava suurre ja lisätään arvot jäljelle jääviin kohtiin. Matkan alla on jakoviiva ja ajan ja nopeuden välissä kertomerkki.

Matka

Jos halutaan laskea matka, jäljelle jää aika ja nopeus. Eli kolmiosta katsottuna matka = aika x nopeus.

Esimerkiksi, jos laivan nopeus on 20 solmua ja se matkustaa 6 tuntia, mikä on sen matkustama matka?

Matka (mpk) = 20kn x 6h

Matka on 120 merimailia.

Aika

Jos halutaan laskea aika, kolmioon jää jäljelle matka ja nopeus. Eli kolmiosta katsottuna aika = matka/aika.

Esimerkiksi, jos laiva nopeus on 20 solmua ja se kulkee 120 merimailin matkan, kuinka kauan sillä kestää?

Aika (h) = 120mpk / 20kn

Aika on 6 tuntia.

Nopeus

Jos halutaan laskea nopeus, kolmioon jää matka ja aika. Eli kolmiosta katsottuna nopeus= matka / ajalla.

Esimerkiksi, jos laiva kulkee 120 merimailin matkan 6 tunnin aikana, kuinka nopeasti se on kulkenut?

Nopeus(kn) = 120mpk / 6h

Nopeus on 20 solmua.

Nyt kun vain muistat kolmion ja opettelet käyttämään sitä, niin suoriudut edellä olevista tehtävistä milloin tahansa. Olipa se sitten ylioppilaskirjotukissa vai veneessä keskellä Itämerta.

Saattaisit olla kiinnostunut myös särmiön pinta-alan laskemisesta.

Vuosipalkan laskeminen, kun tiedetään tuntipalkka ja kuukausipalkka

Palkan maksu perustuu Suomessa yleeensä kuukausipalkkaan, joten siitä vuosipalkan lasku on melko suoraviivaista.

Esim. 2000 euroa kuukausipalkaa saavan henkilön vuosipalkka on n. 25500 euroa ilman ylitöitä ja lisiä. 2000€*12=24000€. Lisäksi maksetaan lomaraha, joka on 50% loma-ajan palkasta.

Loma-ajan pituus määräytyy työehtosopimuksen mukaan. Esimerkiksi kunnallisessa työehtosopimuksessa lomapäiviä on 26, jos työntekijä on ollut työnantajalla töissä alle viisi vuotta. Näiltä lomapäiviltä siis maksetaan normaalin palkan lisäksi 50% lomaraha.

Tuntipalkasta kuukausipalkka

Jos taas tiedetään vain tuntipalkka, pitää ensin laskea kuukausipalkka. Jokaisessa työehtosopimuksessa on kerrottu tähän kerroin. Esim. Edellä mainitussa kvtessissä se on 163. Eli, jos tuntipalkka on 12,27€ on kuukausipalkka 2000€ (12,27€*163).

Miten lasketaan tuntipalkka, kun tiedetään kuukausipalkka?

Palkanmaksun perustana on usein kuukausipalkka. Esimerkiksi ylitöiden maksuun tai osa-aikaisen työntekijän palkanmaksuun tarvitaan kuitenkin tuntipalkka.

Tuntipalkka voidaan laskea teoreettisesti seuraavanlaisesti:

Kuukausipalkka 2000€

Työtuntia päivässä 8

Työpäiviä kuukaudessa 20

20*8=160

2000€/160=12,5€

Yleensä palkanlaskussa käytetään työehtosopimuksessa sovittua jakajaa. Esimerkiksi kunnallinen yleinen virka-ja työehtosopimus (kvtes) määrää jakajan olevan 163. Eli jos työskentelet kvtessin alaisessa työpaikassa, kuten esim. yliopistollisessa keskussairaalassa tuntipalkkasi lasketaan jakajalla 163.

Kuukausipalkka: 2000€

2000€/163= 12,27€

Metalliliiton jakaja on 165,8

Kaupan alan jakaja on 160

Lisätietoa vuosipalkan laskemisesta löydät täältä.

Kuinka laskea prisman, eli särmiön pinta-ala?

Nyt emme laske sen prisman pinta-alaa, josta voit ostaa tykötarpeita aina sukkahousuista makkaraan. Vaikka olisihan se mielenkiintoista tietää kaikkien Suomessa olevien Prismojen yhteinen pinta-ala. Emme myöskään laske suositun Ylen dokumenttiohjelma Prisman pinta-alaa.

Viimeistään tässä vaiheessa mieleesi on juolahtanut jostain peruskoulun syövereistä kuva valoa taittavasta kolmioprismasta. Nyt olet jo lähellä, sillä tässä artikkelissa pureudumme avaruusgeometrisen prisma kappaleen pinta-alan laskemiseen. Prismasta puhutaan suomenkielessä usein särmiönä.

Prisman tai särmiön pinta-alan laskeminen ei ole mikään uusi ja ihmeellinen asia. Jo antiikin Kreikassa Pythagoras opetti tätä koulussaan. Pythagoras oli häveellinen mies ja kunnioitti omaa itsenäisyyttään, tämän vuoksi hän opetti koulussaan vain öisin. Tällöin mahdollisimman harva näki hänet ja tunnisti hänet kadulla. Hän oli myös hyvin edistyksellinen mies, varsinkin kun ottaa huomioon, että hänen kouluunsa olivat tervetulleet sekä naiset, että miehet.

Mikä ihme on avaruusgeometrinen prisma, eli särmiö?

Prisma on kiinteä kappale, jonka kaksi päätyä ovat täysin saman muotoiset. Massa näiden päätyjen välissä on myös saman muotoinen, mutta pituus voi olla mitä tahansa. Päätykappaleen muoto antaa prismalle sen nimen, kuten esimerkiksi edellä mainittu kolmioprisma. Lisäksi prisma voi olla esimerkiksi lieriöprisma, tai suorakulmainen prisma.

Lieriön mallisen prisman pinta-alan laskeminen

Yksinkertainen selitys lieriöstä on wc-paperirulla, tai pikemminkin tyhjä wc-paperirulla. Jos kuvittelet sen olevan kiinteä, se on täydellinen esimerkki lieriön mallisesta prismasta. Nyt jos leikkaat wc-paperirullan halki ja avaat sen. Huomaat, että edessäsi onkin suorakulma. Eli saadaksemme lieriön mallisen prisman pinta-alan selville, meidän täytyy laskea pääty-ympyröiden pinta-alat ja ynnätä ne tämän suorakulman pinta-alaan.

Minun kylpyhuoneessa olevan wc-rullan halkaisija on 3 cm ja pituus 10 cm. Sinulla saattaa olla eri valmistajan rulla, joten koko saattaa vähän vaihdella. Käytetään kuitenkin näitä mittoja tässä esimerkissä.

Eli kuten Pythagoraalta opimme, että ympyrän pinta-alan laskemiseen tarvitsemme säteen, joka on puolet halkaisijasta, eli tässä tapauksessa 1,5 cm. Eli pii kertaa 1,5cm potenssiin 2. Tulokseksi tulee 7 cm². Tämä täytyy kertoa kahdella, koska prismassamme on kaksi päätyä, eli 14cm².

Käytämme jälleen Pythagoraan oppeja ja laskemme wc-paperirullan ympyrän kehän pituuden. Eli pii kertaa halkaisija, ja vastaukseksi saamme 9,42 cm. Tämä on suorakulmamme toisen kulman pituus, toisen jo tiesimmekin olevan 10 cm. Joten 9,42 cm x 10 = 94,2 cm².

Nyt laskemme prismamme päädyt 14cm2 ja päätyjen välin 94,2cm² yhteen, jolloin saamme vastaukseksi 108,2 cm

Lieriön mallisen prisman pinta-alan laskemisen kaava on 2πrh + 2πr² =2πr(h + r), kun r on ympyrän säde ja h on korkeus.

Suorakulmaisen prisman pinta-alan laskeminen

Käytännössähän tilanne on nyt lähes sama, kun kuution pinta-alan laskeminen. Leikitäänpä, että wc-paperirullamme on yön pimeinä tunteina muuttunut, jostain kummasta syystä kulmikkaaksi suorakulmaksi. Sen molemmat päädyt ovat neliöitä, jonka kulma on 3 cm pitkä. Päätyjen väli on pysynyt saman pituisena.

Laskemme ensin päätyjen pinta-alan, eli 3cm x 3cm = 9 cm² ja tämähän pitää taas kertoa kahdella, eli 18cm². Nyt tiedämme, että päätyjen väli koostuu neljästä 3cm x 10cm olevasta osasta. Eli 3cm x 10 cm = 30cm². 30cm2*4=120cm²

Laskemme taas päädyt ja välin yhteen, eli 120cm² + 18 ja saamme vastaukseksi 138cm2.

Kaava suorakulmaisen särmiön laskemiseen on siis A=2(ab+bc+ac), kun särmien pituudet ovat a, b ja c.

Yhteenveto prismasta, eli särmiöstä

Prisma eli särmiö on siis kiinteä kappale, jonka kaksi päätyä ovat täysin saman muotoiset. Massa näiden päätyjen välissä on myös saman muotoinen, mutta pituus voi olla mitä tahansa.

Prismoja on monen muunkin mallisia, kuten esimerkiksi monikulmainen särmiö, eli polygoni prisma. Kaikkien eri muotoisten prismojen pinta-alojen laskeminen seuraa kuitenkin edellä annettuja esimerkkejä.